重难点突破04 三次函数的图象和性质 （七大题型）（解析版）

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重难点突破 04 三次函数的图象和性质
目录
1、基本性质
设三次函数为： (、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质 1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
图像
性质 2：三次方程 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在 R上为单
调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且 ）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质 3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的
对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时
也是二阶导为零的点；
（2）是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两个极值点 ， ，
则有 .
题型一：三次函数的零点问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）函数 存在 3个零点，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 ，则 ，
若 要存在 3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在 3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设 为实数，函数 ．
（1）求 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得方程 恰好有两个实数根?若存在，求出实数 的值；若不存在，请说
明理由．
【解析】（1） ，令 ，得 或 ．
∵当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
的极小值为 ，极大值为 ．
（2）由（1）知， 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
而 ，即函数的极大值大于极小值．
摘要：

重难点突破04三次函数的图象和性质目录1、基本性质设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：图像性质2：三次方程的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为...

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