重难点突破06 双变量问题（六大题型）（解析版）

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重难点突破 06 双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

题型一：双变量单调问题

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)设，证明：对任意，，．

【解析】（1）当时，，，切点为

求导，切线斜率

曲线在处的切线方程为．

（2），的定义域为，求导，

在上单调递减．

不妨假设，∴ 等价于．

即．

令，则．

，，．

从而在单调减少，故，即，

故对任意．

例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数 .

（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，

，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（Ⅰ）的定义域是 .

（1）当时，，的定义域内单增；

（2）当时，由得， .

此时在内单增，在内单减；

（3）当时，，的定义域内单减.

（Ⅱ）因为，所以， .

此时 .

由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.

不妨设，

则，即，

即恒成立.

令，，则在内单减，即 .

，， .

而，当且仅当时，取得最小值，

所以，故实数的取值范围是 .

例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数

的取值范围.

【解析】（Ⅰ）（）

① 当时，故在上单调递增；

② 当时，故在上单调递减；

③ 当时，令解得 

则当时；

当时，故在上单调递减；在上单调递增；

综上所述：当时，故在上单调递增；

当时，故在上单调递减；

当时，在上单调递减；在上单调递增．

（II）由（Ⅰ）知当时故在上单调递增；

对任意即

令因为

所以在上单调递增；所以即在上

恒成立

故

令则又因为所以

>1 当且仅当时取等号，所以，

故不等式恒成立的条件是即 .

所以，实数的取值范围为 .

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重难点突破06双变量问题目录破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【解析】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．例2．（20...

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