重难点突破06 双变量问题（六大题型）（解析版）

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重难点突破 06 双变量问题
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破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
【解析】（1）当 时， ， ，切点为
求导 ，切线斜率
曲线 在 处的切线方程为 ．
（2） ， 的定义域为 ，求导 ，
在 上单调递减．
不妨假设 ，∴ 等价于 ．
即 ．
令 ，则 ．
， ， ．
从而 在 单调减少，故 ，即 ，
故对任意 ．
例2．（2023·安徽·校联考三模）设 ，函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，且对任意 ，
，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（Ⅰ） 的定义域是 .
.
（1）当 时， ， 的定义域 内单增；
（2）当 时，由 得， .
此时 在 内单增，在 内单减；
（3）当 时， ， 的定义域 内单减.
（Ⅱ）因为 ，所以 ， .
此时 .
由（Ⅰ）知， 时， 的定义域 内单减.
不妨设 ，
则 ，即 ，
即 恒成立.
令 ， ，则 在 内单减，即 .
， ， .
而 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
所以 ，故实数 的取值范围是 .
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 时，任意的 ，总有 ，求实数
的取值范围.
【解析】（Ⅰ） （ ）
① 当 时 ，故 在 上单调递增；
② 当 时 ，故 在 上单调递减；
③ 当 时，令 解得 
则当 时 ；
当 时， 故 在 上单调递减；在 上单调递增；
综上所述：当 时， 故 在 上单调递增；
当 时， 故 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增．
（II）由（Ⅰ）知当 时 故 在 上单调递增；
对任意 即
令 因为
所以 在 上单调递增；所以 即 在 上
恒成立
故
令 则 又因为 所以
>1 当且仅当 时取等号，所以 ，
故不等式 恒成立的条件是 即 .
所以，实数 的取值范围为 .

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重难点突破06双变量问题目录破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【解析】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．例2．（20...

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