重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）（解析版）

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重难点突破 05 极值点偏移问题与拐点偏移问题

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性。若函数

f(x)

在

x=x0

处取得极值，且函数

y=f(x)

与直线

y=b

交于

A(x1, b), B (x2,b )

两点，则

的中点为

M(x1+x2

2, b)

，而往往

x0≠x1+x2

。如下图所示。

图1 极值点不偏移图 2 极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数

y=f(x)

在区间

(a , b )

内只有一个极值点

，方程

f(x)

的解分别为

x1、x2

，且

a<x1<x2<b

，（1）若

x1+x2

2≠x0

，则称函数

y=f(x)

在区间

(x1, x2)

上极值点

偏移；

（2）若

x1+x2

2>x0

，则函数

y=f(x)

在区间

(x1, x2)

上极值点

左偏，简称极值点

左偏；（3）若

x1+x2

2<x0

，则函数

y=f(x)

在区间

(x1, x2)

上极值点

右偏，简称极值点

右偏。

2、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点

为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点 x0.

(2) 构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令

(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．

(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．

(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关

系，进而得到所证或所求．

【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与 x0的大小，得出所在

的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿

于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在

联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性

进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的

函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁

明快的思路，有着非凡的功效

3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：

① 由题中等式中产生对数；

② 将所得含对数的等式进行变形得到；

③ 利用对数平均不等式来证明相应的问题.

4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明

题中的不等式即可.

题型一：极值点偏移:加法型

例1．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，

(1)若，求的单调区间；

(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．

【解析】（1）由题可知的定义域为，

令，则的两根分别为，．

当或时，；

当时，；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．

（2）原方程可化为，

设，则，．

令，得．∵在上，，在上，，

∴ 在上单调递增，在上单调递减，

∴ ，且当，趋向于0时，趋向于，

当趋向于时，趋向于．

则在和上分别有一个零点，，

不妨设，∵ ，∴ ，

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摘要：

重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x=x0处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为M(x1+x22,b)，而往往x0≠x1+x22。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1、x2，且a

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