重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）（解析版）
重难点突破 05 极值点偏移问题与拐点偏移问题
目录
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性。若函数
f(x)
在
x=x0
处取得极值，且函数
y=f(x)
与直线
y=b
交于
A(x1, b), B (x2,b )
两点，则
AB
的中点为
M(x1+x2
2, b)
，而往往
x0≠x1+x2
2
。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图 2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数
y=f(x)
在区间
(a , b )
内只有一个极值点
x0
，方程
f(x)
的解分别为
x1、x2
，且
a<x1<x2<b
，（1）若
x1+x2
2≠x0
，则称函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极值点
x0
偏移；
（2）若
x1+x2
2>x0
，则函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极值点
x0
左偏，简称极值点
x0
左偏；（3）若
x1+x2
2<x0
，则函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极值点
x0
右偏，简称极值点
x0
右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点
为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点 x0.
(2) 构 造 函 数 ， 即 根 据 极 值 点 构 造 对 称 函 数 ， 若 证 ， 则 令
.
(3)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(4)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(5)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关
系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明 的符 号问题，还需进一步讨论 与 x0的大小，得出 所在
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在
联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性
进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的
函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁
明快的思路，有着非凡的功效
3、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
① 由题中等式中产生对数；
② 将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③ 利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
题型一：极值点偏移:加法型
例1．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ， 是方程 的两个实数根，证明： ．
【解析】（1）由题可知 的定义域为 ，
.
令 ，则 的两根分别为 ， ．
当 或 时， ；
当 时， ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ．
（2）原方程可化为 ，
设 ，则 ， ．
令 ，得 ．∵在 上， ，在 上， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，且当 ， 趋向于0时， 趋向于 ，
当趋向于 时， 趋向于 ．
则 在 和 上分别有一个零点 ， ，
不妨设 ，∵ ，∴ ，
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重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x=x0处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为M(x1+x22,b)，而往往x0≠x1+x22。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1、x2，且a
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