第01讲 导数的概念与运算（讲义）（解析版）

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第01 讲 导数的概念与运算
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解导数的概念、掌握
基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导
数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数
的运算法则求简单函数的导
数，能求简单的复合函数的
导数．
2022 年I卷第 15 题，5分
2021 年甲卷第 13 题，5分
2021 年I卷第 7题，5分
高考对集合的考查相对稳定，考查内
容、频率、题型、难度均变化不大．
重点考查导数的计算、四则运算法则
的应用和求切线方程为主．
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数，记作 或 ．
知识点诠释：
① 增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于 0． 的意义： 与 0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
② 当 时， 在变化中都趋于 0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即 ．
2、几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的斜率．
3、物理意义
函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ； 在点 的导数
是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（ 为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3、复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2、过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
题型一：导数的定义
【例 1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，函数 的导数为
，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由 图象可知 ，
即.
故选：D

标签： #导数

摘要：

导数的概念与运算

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